Perpindahan Posisi Suatu Partikel

Sebelum Anda mulai belajar pokok bahasan ini, alangkah baiknya untuk membaca vektor posisi dan vektor satuan terlebih dahulu.

Saat kelas X, Anda tentu sudah mengenal istilah perpindahan.

Perpindahan dapat diartikan sebagai perubahan posisi suatu partikel.

Misalnya:

Andi mengendarai mobil ke arah barat sejauh 3 m. Kemudian, ia berbelok ke arah utara sejauh 4 m. Gambarlah perpindahan posisi Andi sekarang!

Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara berikut:

Pada mulanya, mobil Andi berada pada titik pusat koordinat (posisi awal). Lalu, mobil tersebut melaju ke barat sejauh 3 m (garis merah). Kemudian, berbelok ke utara sejauh 4 m (garis biru) lalu berhenti (posisi akhir). 

Cara menentukan perpindahannya adalah dengan menarik garis dari posisi awal sampai posisi akhir.

Lihatlah gambar di bawah ini!

$\textup{Terdapat 2 buah posisi, yaitu: } \vec{r_{1}} \textup{ dan } \vec{r_{2}}$

$\Delta\vec{r} = \textup{perpindahan posisi}$

Lalu, masih ingatkah Anda tentang penjumlahan vektor?

$\vec{r_{1}}+ \Delta\vec{r}= \vec{r_{2}}$

$\Delta\vec{r} = \vec{r_{2}}- \vec{r_{1}}$

Sehingga, kita mendapat rumus perpindahan posisi, yaitu:

$\Delta\vec{r} = \vec{r_{2}}- \vec{r_{1}}$

Setiap posisi memiliki koordinat-nya tersendiri yang dapat diubah dalam vektor satuan.

$\vec{r}= xi + yj$

$\vec{r_{1}}= x_{1}i + y_{1}j$

$\vec{r_{2}}= x_{2}i + y_{2}j$

$\textup{Jika } \vec{r_{1}} \textup{ dan} \vec{r_{2}} \textup{ dimasukkan ke dalam rumus perpindahan posisi maka:}$

$\Delta\vec{r} = \vec{r_{2}}- \vec{r_{1}}$

$\Delta\vec{r} = x_{2}i + y_{2}j - (x_{1}i + y_{1}j)$

$\Delta\vec{r} = x_{2}i + y_{2}j -x_{1}i -y_{1}j$

$\Delta\vec{r} = x_{2}i - x_{1}i + y_{2}j - y_{1}j$

$\Delta\vec{r} = (x_{2} - x_{1})i + (y_{2}- y_{1})j$

Rumus diatas merupakan cara mencari vektor perpindahan.

$\textup{INGATLAH!}$

$\textup{Setiap vektor satuan } xi + yj \textup{ memiliki besar } \sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$\textup{sehingga:}$

$s \textup{ (besar perpindahan)} = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

Berarti, kita mendapat 3 rumus, yaitu:

$\Delta\vec{r} = \vec{r_{2}}- \vec{r_{1}}$

$\Delta\vec{r} = (x_{2} - x_{1})i + (y_{2}- y_{1})j \textup{*}$

$s = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\textup{*}$

*rumus yang sering dipakai

Contoh soal 1:

Sebuah partikel bergerak dalam bidang XOY dari suatu titik dengan koordinat (1,3) m ke titik dengan koordinat (3,1) m. Tentukan:

a. vektor satuan dari masing-masing posisi
b. vektor perpindahannya

c. besar perpindahannya

Pembahasan soal 1:

a. Vektor satuan: xi + yj

    Koordinat (1, 3) memiliki vektor satuan i + 3j

    Koordinat (3,1) memiliki vektor satuan 3i + j

b. Vektor perpindahan:

    $\Delta\vec{r} = (x_{2} - x_{1})i + (y_{2}- y_{1})j$

    $\Delta\vec{r} = (3 - 1)i + (1 - 3)j$

    $\Delta\vec{r} = 2i - 2j$

c. Besar perpindahan:

    $s = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

    $s = \sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2}}$

    $s = \sqrt{8}$

    $\mathbf{s = 2\sqrt{2} \textup{ m}}$

Mungkin Anda bertanya-tanya mengapa vektor perpindahannya adalah 2i-2j padahal di gambar (gambar di contoh soal) tidak tampak seperti itu.

Untuk membuktikan kebenaran tersebut, vektor perpindahan tersebut harus dipindahkan ke titik sumbu koordinat, seperti di bawah ini:






Gambar di samping membuktikan bahwa vektor perpindahan tersebut memang 2i - 2j (2,-2).












Dapat disimpulkan, perpindahan juga merupakan vektor, oleh karena itu berlaku rumus berikut:

1. Sumbu x vektor perpindahan:**
$s_{x} = \textup{s } cos\ \theta$

2. Sumbu y vektor perpindahan:**
$s_{y} = \textup{s } sin\ \theta$

3. Arah perpindahan:
$\tan \theta = \frac{s_{y}}{s_{x}}$

Hal ini juga berlaku untuk vektor posisi:

1. Sumbu x vektor posisi:**
$r_{x} = \textup{r } cos\ \theta$

2. Sumbu y vektor posisi:**
$r_{y} = \textup{r } sin\ \theta$

3. Arah vektor posisi:
$\tan \theta = \frac{r_{y}}{r_{x}}$

Catatan:
**Rumus no.1 dan no.2 berguna untuk pengerjaan soal seperti mengenai arah mata angin.

Daftar besar sudut arah mata angin:


Timur (T)            = 0*                     (x = + y = 0)
Timur Laut (TL)  = 45*                   (x = + y = +)
Utara (U)            = 90*                   (x = 0 y = +)
Barat Laut (BL)   = 135* (180-45) (x = + y = -)
Barat (B)             = 180* (180 - 90) (x = - y = 0)
Barat Daya (BD) = 225* (180+45) (x = - y = -)
Selatan (S)          = 270* (180+90) (x = 0 y = -)
Tenggara (TG)     = 315* (360-45) (x = + y = -)
*dalam derajat



Contoh soal 2:
$\textup{Sebuah mobil melaju dan menempuh 3 km ke barat dan kemudian menempuh } 4 \sqrt{2} \textup{ km ke arah tenggara}$
$\textup {dan akhirnya 3 km ke utara. Tentukan besar dan arah perpindahan mobil terhadap titik berangkatnya!}$

Pembahasan soal 2:

///////////////////////////////////////////////////////besar perpindahan////////////////////////////////////////////////
Pertama-tama kita harus tentukan dulu masing-masing vektor posisi dalam vektor satuan:

Catatan:
**Bagi vektor yang horizontal atau vertikal tidak perlu memakai rumus no.1 dan no.2, sedangkan vektor yang miring harus memakai rumus no.1 dan no.2

1. Posisi 1 ke arah barat 3 m, berarti x = -3 y = 0 (lihat daftar)
$\vec{r_{1}} = -3i + 0y$
$\vec{r_{1}} = -3i$

2. Posisi 2 ke arah tenggara, berarti:
$r_{2x} = \textup{r } cos\ \theta$
$r_{2x} = (4\sqrt{2}) (cos\ \315^{\circ})$
$r_{2x} = (4\sqrt{2}) (\frac {1} {2} \sqrt{2})$
$r_{2x} = 4$
$r_{2y} = \textup{r } sin\ \theta$
$r_{2y} = \textup{4 } sin\ \315^{\circ}$
$r_{2y} = (4\sqrt{2}) (- \frac {1} {2} \sqrt{2})$
$r_{2y} = -4$
$\vec{r_{2}} = 4i - 4j$

3. Posisi 3 ke arah utara 3 m, berarti x = 0 y = 3:
$\vec{r_{3}} = 3j$

Gambar di atas adalah gambar seluruh vektor posisi yang terdapat dalam soal. Sesuai gambar, berlaku:
$\Delta r = \vec{r_{1}}+ \vec{r_{2}}+ \vec{r_{3}}$
$\Delta r = -3i + 4i - 4j + 3j$
$\Delta r = (-3+4)i + (-4+3)j$
$\Delta r = i - j$

Maka besar perpindahan adalah:
$s = \sqrt{(\Delta r_{x})^{2}+(\Delta r_{y})^{2}}$
$s = \sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}$
$\mathbf{s = \sqrt {2} \textup{ km}}$

///////////////////////////////////////////////////////arah perpindahan////////////////////////////////////////////////
Tinggal memakai rumus no. 3:
$\tan \theta = \frac{\Delta r_{y}}{\Delta r_{x}}$
$\tan \theta = \frac{1}{-1}$
$\tan \theta = -1$
$\mathbf {\theta = 315^{\circ}} \textup{(KUADRAN IV [360-45] karena x negatif)}$

Jangan lupa tinggalkan komen! ^_^

Referensi:

Widodo, Tri. Fisika untuk SMA/MA XI. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional (BSE), 2009.

Kanginan, Marthen. SeribuPena FISIKA untuk SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Erlangga. 2008