Perpindahan Posisi Suatu Partikel

Sebelum Anda mulai belajar pokok bahasan ini, alangkah baiknya untuk membaca vektor posisi dan vektor satuan terlebih dahulu.

Saat kelas X, Anda tentu sudah mengenal istilah perpindahan.

Perpindahan dapat diartikan sebagai perubahan posisi suatu partikel.

Misalnya:

Andi mengendarai mobil ke arah barat sejauh 3 m. Kemudian, ia berbelok ke arah utara sejauh 4 m. Gambarlah perpindahan posisi Andi sekarang!

Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara berikut:

Pada mulanya, mobil Andi berada pada titik pusat koordinat (posisi awal). Lalu, mobil tersebut melaju ke barat sejauh 3 m (garis merah). Kemudian, berbelok ke utara sejauh 4 m (garis biru) lalu berhenti (posisi akhir). 

Cara menentukan perpindahannya adalah dengan menarik garis dari posisi awal sampai posisi akhir.

Lihatlah gambar di bawah ini!

$\textup{Terdapat 2 buah posisi, yaitu: } \vec{r_{1}} \textup{ dan } \vec{r_{2}}$

$\Delta\vec{r} = \textup{perpindahan posisi}$

Lalu, masih ingatkah Anda tentang penjumlahan vektor?

$\vec{r_{1}}+ \Delta\vec{r}= \vec{r_{2}}$

$\Delta\vec{r} = \vec{r_{2}}- \vec{r_{1}}$

Sehingga, kita mendapat rumus perpindahan posisi, yaitu:

$\Delta\vec{r} = \vec{r_{2}}- \vec{r_{1}}$

Setiap posisi memiliki koordinat-nya tersendiri yang dapat diubah dalam vektor satuan.

$\vec{r}= xi + yj$

$\vec{r_{1}}= x_{1}i + y_{1}j$

$\vec{r_{2}}= x_{2}i + y_{2}j$

$\textup{Jika } \vec{r_{1}} \textup{ dan} \vec{r_{2}} \textup{ dimasukkan ke dalam rumus perpindahan posisi maka:}$

$\Delta\vec{r} = \vec{r_{2}}- \vec{r_{1}}$

$\Delta\vec{r} = x_{2}i + y_{2}j - (x_{1}i + y_{1}j)$

$\Delta\vec{r} = x_{2}i + y_{2}j -x_{1}i -y_{1}j$

$\Delta\vec{r} = x_{2}i - x_{1}i + y_{2}j - y_{1}j$

$\Delta\vec{r} = (x_{2} - x_{1})i + (y_{2}- y_{1})j$

Rumus diatas merupakan cara mencari vektor perpindahan.

$\textup{INGATLAH!}$

$\textup{Setiap vektor satuan } xi + yj \textup{ memiliki besar } \sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$\textup{sehingga:}$

$s \textup{ (besar perpindahan)} = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

Berarti, kita mendapat 3 rumus, yaitu:

$\Delta\vec{r} = \vec{r_{2}}- \vec{r_{1}}$

$\Delta\vec{r} = (x_{2} - x_{1})i + (y_{2}- y_{1})j \textup{*}$

$s = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\textup{*}$

*rumus yang sering dipakai

Contoh soal 1:

Sebuah partikel bergerak dalam bidang XOY dari suatu titik dengan koordinat (1,3) m ke titik dengan koordinat (3,1) m. Tentukan:

a. vektor satuan dari masing-masing posisi
b. vektor perpindahannya

c. besar perpindahannya

Pembahasan soal 1:

a. Vektor satuan: xi + yj

    Koordinat (1, 3) memiliki vektor satuan i + 3j

    Koordinat (3,1) memiliki vektor satuan 3i + j

b. Vektor perpindahan:

    $\Delta\vec{r} = (x_{2} - x_{1})i + (y_{2}- y_{1})j$

    $\Delta\vec{r} = (3 - 1)i + (1 - 3)j$

    $\Delta\vec{r} = 2i - 2j$

c. Besar perpindahan:

    $s = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

    $s = \sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2}}$

    $s = \sqrt{8}$

    $\mathbf{s = 2\sqrt{2} \textup{ m}}$

Mungkin Anda bertanya-tanya mengapa vektor perpindahannya adalah 2i-2j padahal di gambar (gambar di contoh soal) tidak tampak seperti itu.

Untuk membuktikan kebenaran tersebut, vektor perpindahan tersebut harus dipindahkan ke titik sumbu koordinat, seperti di bawah ini:






Gambar di samping membuktikan bahwa vektor perpindahan tersebut memang 2i - 2j (2,-2).












Dapat disimpulkan, perpindahan juga merupakan vektor, oleh karena itu berlaku rumus berikut:

1. Sumbu x vektor perpindahan:**
$s_{x} = \textup{s } cos\ \theta$

2. Sumbu y vektor perpindahan:**
$s_{y} = \textup{s } sin\ \theta$

3. Arah perpindahan:
$\tan \theta = \frac{s_{y}}{s_{x}}$

Hal ini juga berlaku untuk vektor posisi:

1. Sumbu x vektor posisi:**
$r_{x} = \textup{r } cos\ \theta$

2. Sumbu y vektor posisi:**
$r_{y} = \textup{r } sin\ \theta$

3. Arah vektor posisi:
$\tan \theta = \frac{r_{y}}{r_{x}}$

Catatan:
**Rumus no.1 dan no.2 berguna untuk pengerjaan soal seperti mengenai arah mata angin.

Daftar besar sudut arah mata angin:


Timur (T)            = 0*                     (x = + y = 0)
Timur Laut (TL)  = 45*                   (x = + y = +)
Utara (U)            = 90*                   (x = 0 y = +)
Barat Laut (BL)   = 135* (180-45) (x = + y = -)
Barat (B)             = 180* (180 - 90) (x = - y = 0)
Barat Daya (BD) = 225* (180+45) (x = - y = -)
Selatan (S)          = 270* (180+90) (x = 0 y = -)
Tenggara (TG)     = 315* (360-45) (x = + y = -)
*dalam derajat



Contoh soal 2:
$\textup{Sebuah mobil melaju dan menempuh 3 km ke barat dan kemudian menempuh } 4 \sqrt{2} \textup{ km ke arah tenggara}$
$\textup {dan akhirnya 3 km ke utara. Tentukan besar dan arah perpindahan mobil terhadap titik berangkatnya!}$

Pembahasan soal 2:

///////////////////////////////////////////////////////besar perpindahan////////////////////////////////////////////////
Pertama-tama kita harus tentukan dulu masing-masing vektor posisi dalam vektor satuan:

Catatan:
**Bagi vektor yang horizontal atau vertikal tidak perlu memakai rumus no.1 dan no.2, sedangkan vektor yang miring harus memakai rumus no.1 dan no.2

1. Posisi 1 ke arah barat 3 m, berarti x = -3 y = 0 (lihat daftar)
$\vec{r_{1}} = -3i + 0y$
$\vec{r_{1}} = -3i$

2. Posisi 2 ke arah tenggara, berarti:
$r_{2x} = \textup{r } cos\ \theta$
$r_{2x} = (4\sqrt{2}) (cos\ \315^{\circ})$
$r_{2x} = (4\sqrt{2}) (\frac {1} {2} \sqrt{2})$
$r_{2x} = 4$
$r_{2y} = \textup{r } sin\ \theta$
$r_{2y} = \textup{4 } sin\ \315^{\circ}$
$r_{2y} = (4\sqrt{2}) (- \frac {1} {2} \sqrt{2})$
$r_{2y} = -4$
$\vec{r_{2}} = 4i - 4j$

3. Posisi 3 ke arah utara 3 m, berarti x = 0 y = 3:
$\vec{r_{3}} = 3j$

Gambar di atas adalah gambar seluruh vektor posisi yang terdapat dalam soal. Sesuai gambar, berlaku:
$\Delta r = \vec{r_{1}}+ \vec{r_{2}}+ \vec{r_{3}}$
$\Delta r = -3i + 4i - 4j + 3j$
$\Delta r = (-3+4)i + (-4+3)j$
$\Delta r = i - j$

Maka besar perpindahan adalah:
$s = \sqrt{(\Delta r_{x})^{2}+(\Delta r_{y})^{2}}$
$s = \sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}$
$\mathbf{s = \sqrt {2} \textup{ km}}$

///////////////////////////////////////////////////////arah perpindahan////////////////////////////////////////////////
Tinggal memakai rumus no. 3:
$\tan \theta = \frac{\Delta r_{y}}{\Delta r_{x}}$
$\tan \theta = \frac{1}{-1}$
$\tan \theta = -1$
$\mathbf {\theta = 315^{\circ}} \textup{(KUADRAN IV [360-45] karena x negatif)}$

Jangan lupa tinggalkan komen! ^_^

Referensi:

Widodo, Tri. Fisika untuk SMA/MA XI. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional (BSE), 2009.

Kanginan, Marthen. SeribuPena FISIKA untuk SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Erlangga. 2008

Vektor Posisi dan Vektor Satuan

Apakah itu posisi? Agar lebih jelas lihatlah gambar berikut!

Titik A terletak pada koordinat cartesius.
Posisi A terletak pada koordinat (4,3)







Posisi titik materi dapat dinyatakan dalam sebuah vektor pada bidang datar maupun bidang ruang.
Vektor yang dipergunakan untuk menentukan posisi disebut VEKTOR POSISI yang
ditulis dalam VEKTOR SATUAN.

Agar lebih mengetahui mengenai VEKTOR POSISI, lihatlah koordinat di bawah ini!













Nah sekarang, apakah itu VEKTOR SATUAN?

i adalah vektor satuan pada sumbu x
j adalah vektor satuan pada sumbu y
k adalah vektor satuan pada sumbu z







Penulisan vektor posisi yang dinyatakan dalam vektor satuan adalah sebagai berikut:
$\vec{r}=x\vec{i} + y\vec{j}+ z\vec{k}$
Sedangkan panjang/besar vektor posisi adalah sebagai berikut:
$\left | \vec{r} \right | = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Contoh 1:
Diketahui A terletak pada koordinat bidang datar (2,3).
a. Gambarlah dalam bentuk vektor posisi!
b. Nyatakan vektor posisi tersebut dalam vektor satuan!
c. Hitung besar vektor posisi tersebut!

Jawaban 1:
a. Gambarlah dalam bentuk vektor posisi!
    Cara menjawab pertanyaan diatas dapat diikuti dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1:

Gambarlah garis koordinat secukupnya! Kemudian, tentukan angka-angka pada sumbu x, y, dan z berdasarkan koordinat yang tersedia!

Langkah 2:

Gambarlah garis putus-putus pada angka yang sesuai pada koordinat! Tentukan titik potong antara garis putus-putus tersebut!

Langkah 3:

Tarik sebuah garis panah dari titik pangkal koordinat sampai titik potong dengan panah berada pada titik potong! Hapus garis putus-putus dan titik potong (bagian yang tidak diperlukan)! Jadilah sebuah vektor posisi!

b. Nyatakan vektor posisi tersebut dalam vektor satuan!

   Caranya adalah tinggal memasukkan ke rumus saja.

  $\vec{r}= x\vec{i} + y\vec{j}+ z\vec{k}$

  $\vec{r}= (2)\vec{i} + (3)\vec{j} + (0)\vec{k}$

  $\vec{r}= 2\vec{i} + 3\vec{j}$

   Catatan: z = 0 karena tidak tersedia dalam soal

c. Hitung besar vektor posisi tersebut!

   $\left | \vec{r} \right | = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

   $\left | \vec{r} \right | = \sqrt{2^{2}+3^{2}+0^{2}}$

   $\left | \vec{r} \right | = \sqrt{4+9+0}$

   $\left | \vec{r} \right | = \sqrt{13} \textup{ satuan}$

Nah, bagaimana kalau soal berikut ini?

Contoh 2:

Diketahui A terletak pada koordinat bidang ruang (2,3,5).Gambarlah dalam bentuk vektor posisi!

Yang paling sulit dari soal ini terletak pada langkah 2 yaitu mencari titik potong-nya.
Berikut adalah penjabarannya.

Tahap 1

Setelah melakukan LANGKAH 1, 

buatlah titik perpotongan dari garis sumbu x dengan garis sumbu y!

Tahap 2:

Lalu, buatlah titik perpotongan dari garis sumbu x dengan garis sumbu z!

Tahap 3:

Kemudian, buatlah titik perpotongan dari garis sumbu x dengan garis sumbu z!

Tahap 4: 

Setelah itu, buatlah titik pertemuan antara 3 garis yang berasal dari titik potong sumbu x dengan sumbu y, sumbu x dengan sumbu z, dan sumbu y dengan sumbu z!

Tahap terakhir:

Seperti pada langkah 3, tarik garis panah dari titik pangkal koordinat menuju titik pertemuan 3 garis. Jadilah sebuah vektor posisi!

Jangan lupa tinggalkan komen! ^_^
Referensi:
Widodo, Tri. Fisika untuk SMA/MA XI. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional (BSE), 2009.
http://adybakom.blogspot.com/2012/08/pengertian-vektor-satuan-dan-vektor-posisi.html

Pengenalan Dasar Kinematika Kelas XI

Masih ingatkah Anda mengenai Kinematika sewaktu kelas X?

Nah, di kelas XI kinematika ini akan dibahas lebih dalam lagi dengan metode analisis vektor.

Tentunya akan lebih rumit lagi. Oleh karena itu, sangat membantu jika sudah hafal rumus kinematika sewaktu kelas X.

Ini dia rumus sekedar pengingat:

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

$v_{t} = v_{o}+ at$

$s = v_{o}t + \frac{1}{2}at^{2}$

$v_{t}^{2}= v_{o}^{2}+2as$

$s = \textup{jarak (m)}$

$\Delta s = perubahan jarak = s_{2}-s_{1} \textup{ (m)}$

$t = \textup{waktu (sekon)}$

$\Delta t = perubahan waktu = t_{2}-t_{1} \textup{ (sekon)}$

$v = \textup{kecepatan (m/s)}$

$\Delta v = \textup{perubahan kecepatan} = v_{2}-v_{1} \textup{ (m/s)}$

$v_{o}= \textup{kecepatan awal (m/s)}$

$v_{t} = \textup{kecepatan akhir (m/s)}$

$a = percepatan \textup{ (m/}s^{2})$